02.12.20 Урок №7

 Сила трения.Применение законов Ньютона

Пример

По шероховатой наклонной плоскости скользит вниз брусок массой $m$. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен $\mu$. Чему равна величина его ускорения?

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью. Систему координат выберем так, как показано на рисунке (оси координат $Ox$ и $Oy$ выделены красным цветом).

Это инерциальная система отсчета, так как она неподвижна по отношению к Земле. В ней выполняются законы Ньютона. 

Нарисуем все силы, действующие на наше тело (на рисунке обозначены синим цветом):

$m\overrightarrow{g_{}}$ — сила тяжести, всегда направленная вертикально вниз; 

$\overrightarrow{N_{}}$ — сила реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности соприкосновения от нее; 

$\overrightarrow{F_{тр}}$ — сила трения скольжения, направленная вдоль наклонной плоскости противоположно вектору скорости тела.

Тело движется по наклонной плоскости вниз (вдоль оси $Ox$), поэтому разумно предположить, что вектор $\overrightarrow{a_{}}$ ускорения тела будет направлен в этом же направлении (на рисунке отмечен рядом с телом).

Согласно второму закону Ньютона, $\overrightarrow{R_{}}=m\overrightarrow{a_{}}$, то есть $m\overrightarrow{g_{}}+\overrightarrow{N_{}}+\overrightarrow{F_{тр}}=m\overrightarrow{a_{}}$.

В проекции на ось $Ox$:

$mgsin\alpha -F_{тр}=ma(1).$

В проекции на ось $Oy$:

$N-mgcos\alpha =0(2).$

Из соотношения $(2)$ следует, что $N=mgcos\alpha$. По определению силы трения скольжения $F_{тр}=\mu N$, значит, соотношение $(1)$ примет $mgsin\alpha -\mu mgcos\alpha =ma$, откуда

$a=g(sin\alpha -\mu cos\alpha )\text{.}$

Заметим, что величина ускорения остается неизменной, значит, движение тела является равноускоренным.

Ответ: $a=g(sin\alpha -\mu cos\alpha )$.

Пример

Найдите ускорение груза массой $3m$ в системе, состоящей из неподвижного блока и подвижного блока. Массами блоков и трением в их осях пренебречь. Нить, переброшенная через блоки, невесома и нерастяжима. Ускорение свободного падения $g$.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с неподвижным блоком. Систему координат выберем так, как показано на рисунке (ось координат $Oy$ выделена красным цветом). Это инерциальная система отсчета, так как она неподвижна по отношению к Земле. В ней выполняются законы Ньютона.

1) Нарисуем силы, действующие на тело массой $m$ (на рисунке обозначены синим цветом): $m\overrightarrow{g_{}}$ — сила тяжести, всегда направленная вертикально вниз; $\overrightarrow{T_{}}$ — сила натяжения нити, направленная по нити от тела.

2) Нарисуем силы, действующие систему, состоящую из тела массой $3m$ и подвижного блока (на рисунке обозначены зеленым цветом): $3m\overrightarrow{g_{}}$ — сила тяжести; $\overrightarrow{T_{}}$ — сила натяжения нити, направленная по нити от тела.

Предположим, что грузы движутся так, как показано на рисунке. Ускорение груза массой $3m$ обозначим $\overrightarrow{a_1}$, а груза массой $m$ — $\overrightarrow{a_2}$.

3) По второму закону Ньютона для тела массой $m$: $\overrightarrow{R_2}=m\overrightarrow{a_2}$, то есть $m\overrightarrow{g_{}}+\overrightarrow{T_{}}=m\overrightarrow{a_2}$. 

В проекции на ось $Oy$:

$T-mg=m{a}_2(1).$

4) По второму закону Ньютона для тела массой $3m$: $\overrightarrow{R_1}=3m\overrightarrow{a_1}$, то есть $3m\overrightarrow{g_{}}+2\overrightarrow{T_{}}=3m\overrightarrow{a_1}$. 

В проекции на ось $Oy$:

$2T-3mg=-3m{a}_1(2).$

5) Чтобы найти связь ускорений $a_1$ и $a_2$ нужно разобраться с кинематической связью тел. Подвижный блок дает выигрыш в силе в два раза. Согласно золотому правилу механики, во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Это означает, что если тело массой $3m$ опустится на расстояние $x$, то тело массой $m$ поднимется на $2x$, следовательно:

$a_2=2a_1(3).$

6) Из соотношений $(1)$, $(2)$ и $(3)$ находим, что $a_1={\displaystyle \frac{g}{7}}$ и $a_2={\displaystyle \frac{2g}{7}}$.

Ответ: ${\displaystyle \frac{g}{7}}$.